|
|
|
\require{AMSmath}
Reageren...
Re: Afstanden en hoeken in de ruimte
Dag iedereeeeen,
Ik zit met een probleempje. Ik moet bewijzen dat de volgende reeks uniform convergeert op elk compact interval binnen $\mathbf{R}$.
$\sum$(-1)nsin(1+(x/n))/$\sqrt{ }$(n) n=1,...,$\to\infty$
Ik heb de indruk dat al mijn kenmerken niet toepasbaar zijn of zo... Abel? Dirichlet? Dini?
Weet iemand iets anders?
Groetjes,
Koen (km)
Antwoord
Hallo Koen!
Overgelopen naar de vub?
Die reeks: kan dat niet met Abel? Ik neem even de formulering over van wolfram:
un(x)=(-1)nsin(1+(x/n))/$\sqrt{ }$(n)
an=(-1)n/$\sqrt{ }$(n)
fn(x)=sin(1+(x/n))
$\sum$(an) is convergent wegens het criterium van Leibniz
Voor alle positieve x is fn(x) monotoon dalend vanaf een zekere N (namelijk kies N zodat x/N $<$ $\pi$/2 - 1.
Voor negatieve x is fn(x) wel monotoon stijgend, das jammer... Maar dan kan je even kijken naar f'=sin(1)-sin(1+(x/n)), die daalt dan weer wel en is strikt positief vanaf bepaalde N. Dus als je die f' invult, is u uniform convergent, maar ook voor f''=sin(1) is u uniform convergent, dus ook voor f=f''-f' zal u wel uniform convergent zijn zeker? (ben ik niet echt zeker van, en tziet er ook niet zo mooi uit)
fn(x) is begrensd: voor elke x ligt die tussen 0 en 1 vanaf bepaalde n, ofwel voor elke x ligt die tussen -1 en 1.
En das genoeg om te besluiten dat de reeks uniform convergeert op elk compact interval van $\mathbf{R}$.
Khoop dat ik niks over het hoofd heb gezien, want tis toch alweer een tijdje geleden...
Greetz!
Gebruik dit formulier alleen om te reageren op de inhoud van de vraag en/of het
antwoord hierboven. Voor het stellen van nieuwe vragen kan je gebruik maken
van een vraag stellen in het menu aan de linker kant. Alvast bedankt!
|
